Question

如图，设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过准线l上一点M（-1，0）且斜率为k的直线l₁交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为P，直线PF交抛物线C于D，E两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若|MA|•|MB|=λ|FD|•|FE|，试写出λ关于k的函数解析式，并求实数λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意可得，可求p，进而可求抛物线方程
（Ⅱ）设l1方程为y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），
由整理可得关于y的方程，结合△=16-16k2＞0，可求k的范围，然后结合方程的根与系数关系可求y1+y2，y1y2，代入可求x1+x2，x1x2及P，从而可求|MA||MB|及直线PF的方程，由得关于y的方程，同理可求y3+y4，y3y4，代入直线方程得x3+x4，x3x4，可求|FD||FE|，由题设建立等式，则可以由k表示λ，结合函数的单调性可求λ的范围
【解析】
（Ⅰ），抛物线方程为y2=4x．   …（4分）

（Ⅱ）设l1方程为y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），
由得ky2-4y+4k=0，△=16-16k2＞0，所以k∈（-1，0）∪（0，1），
，
代入方程得：，…（6分）
所以，…（8分）
且直线，
由得ky2-4（1-k2）y-4k=0，
则得，
代入直线方程得，
所以，…（10分）
则，…（12分）
令t=k2+1，则t∈（1，2）
而在（1，）单调递增，在（）单调递减
所以                 …（14分）