Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁．AB=1，AA₁=2，点E为CC₁中点，点F为BD₁中点．
（1）证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；
（2）求点D₁到面BDE的距离．

Answer

（1）欲证明EF为BD1与CC1的公垂线，只须证明EF分别与为BD1与CC1垂直即可，可由四边形EFMC是矩形→EF⊥CC1．由EF⊥面DBD1→EF⊥BD1．
（2）欲求点D1到面BDE的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：VE-DBD1=VD1-DBE．求解即得．
【解析】
（1）取BD中点M．
连接MC，FM．
∵F为BD1中点，
∴FM∥D1D且FM=D1D．
又ECCC1且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形
∴EF⊥CC1．又CM⊥面DBD1．
∴EF⊥面DBD1．
∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．
故EF为BD1与CC1的公垂线．
（Ⅱ）【解析】
连接ED1，有VE-DBD1=VD1-DBE．
由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，
设点D1到面BDE的距离为d．
则．
∵AA1=2，AB=1．
∴，，
∴．
∴
故点D1到平面DBE的距离为．