Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且，AD=CD=1．
（1）求证：BD⊥AA₁；
（2）若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC₁D₁．

Answer

（1）利用垂直平分线的判定定理即可得到BD垂直平分AC，利用面面垂直的性质定理即可得到BD⊥平面AA1C1C，利用线面垂直的性质定理即可证明结论；
（2）利用△OCD的边角关系即可得到∠OCD=30°，从而得到∠BCD=90°，DC⊥BC，利用等边三角形的性质即可得到AE⊥BC，得到AE∥DC，
再利用线面平行的判定定理即可证明结论．
证明：（1）∵AB=BC，AD=CD，∴BD垂直平分AC，
∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，
∴BD⊥平面AA1C1C，
∴BD⊥AA1；
（2）是BD∩AC=O，则OC=，
又DC=1，∴=，∴∠OCD=30°．
∵∠ACB=60°，∴∠BCD=90°．
∴DC⊥BC．
∵E为等边三角形的边BC的中点，∴AE⊥BC，∴DC∥AE．
∵AE⊄平面DCC1D1．DC⊂平面DCC1D1．
∴AE∥平面DCC1D1．