Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（实数a，b，c为常数）的图象过原点，且在x=1处的切线为直线．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若常数m＞0，求函数f（x）在区间[-m，m]上的最大值．

Answer

（1）根据函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，可得f（0）=c=0．求导函数，利用在x=1处的切线为直线，即可求得函数f（x）的解析式；
（2）f（x）=x3-x2，f′（x）=3x2-3x=3x（x-1），确定函数的单调性与极大值，将端点函数值与极大值比较，进行分类讨论，即可求得函数f（x）在区间[-m，m]上的最大值．
【解析】
（1）∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，
∴f（0）=c=0，
求导函数可得：f′（x）=3x2+2ax+b，
∵在x=1处的切线为直线．
∴f（1）=1+a+b=-，f′（1）=3+2a+b=0，
∴a=-，b=0，
∴f（x）=x3-x2，
（2）f（x）=x3-x2，f′（x）=3x2-3x=3x（x-1），
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函数在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增；在（0，1）上单调递减，
∴函数在x=0处取得极大值0，
令f（x）=x3-x2=0，可得x=0或x=，
∴0＜m＜时，f（m）＜0，函数在x=0处取得最大值0；
m≥时，f（m）≥0，函数在x=m处取得最大值．