Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为，准线为l，点P（x，y）（y_o＞p）为抛物线C上的一点，且△FOP的外接圆圆心到准线的距离为．
（I）求抛物线C的方程；
（II）若圆F的方程为x²+（y-1）²=1，过点P作圆F的2条切线分别交x轴于点M，N，求△PMN面积的最小值及此事y的值．

Answer

（Ⅰ）由题意得出圆心的纵坐标为，由圆心到准线的距离等于求出p的值，则抛物线方程可求；
（Ⅱ）设出过P点的切线方程，由圆心F到切线的距离等于1整理得到关于切线斜率k的一元二次方程，方程的两个根为两条切线的斜率，由根与系数关系得到两根的和与积（用P点的坐标表示），单独写出两切线的方程，求出M和N的坐标，由数轴上的两点间的距离公式写出M、N的距离，把根与系数关系代入后化为P点纵坐标的表达式，则三角形PMN的面积化为了关于P点纵坐标的函数关系式，通过求导得到面积的最小值．
【解析】
（I）△FOP的外接圆的圆心在线段OF，FP的中垂线的交点上，且线段OF的中垂线为直线，
则圆心的纵坐标为，故圆心到准线的距离为，解得p=2，即抛物线C的方程为x2=4y．
（II）由题意知过点P的圆x2+（y-1）2=1的切线的斜率存在，设切线方程为y-y=k（x-x），即kx-y-kx+y=0．
则点F（0，1）到直线的距离．令d=1，则，
整理得．
设两条切线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则，，
且直线PM：y-y=k1（x-x），直线PN：y-y=k2（x-x），故，．
因此．
所以．
设（t＞2），则，
令t2-3t-6=0，则（舍），或．
当t∈时，f′（t）＜0，f（t）在上单点递减，
当t∈时，f′（t）＞0，f（t）在上单调递增，
因此=
=．
所以△PMN面积的最小值为．
此时．