Question

已知函数f（x）=x²-ax，g（x）=lnx．
（1）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x₁，x₂，且，证明：；
（3）设对于任意的a∈（1，2），总存在，使不等式r（x）＞k（1-a²）成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）由于f（x）≥g（x）恒成立，只需使x2-ax≥lnx，（x＞0）分离参数来解决，注意a≤F（x）即要a≤F（x）min；a≥F（x）即要a≥F（x）max；
（2）借助于极值点的范围，利用函数的导数来处理；
（3）与（1）类似处理，注意分类讨论．
【解析】
（1）由题意：f（x）≥g（x）⇔x2-ax≥lnx，（x＞0）
分离参数α可得：a≤，（x＞0）…（1分）
设，则=…（2分）
由于函数y=x2，y=lnx在区间（0，+∞）上都是增函数，所以
函数y=x2+lnx-1在区间（0，+∞）上也是增函数，显然x=1时，该函数值为0
所以当x∈（0，1）时，Φ′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，Φ′（x）＞0
所以函数Φ（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数
所以Φ（x）min=Φ（1）=1，所以a≤Φ（x）min=1即a∈（-∞，1）…（4分）
（2）由题意知道：h（x）=x2-ax+lnx．则
所以方程2x2-ax+1=0，（x＞0）有两个不相等的实数根x1，x2，且，
又因为，所以，且…（6分）
而h（x1）-h（x2）=
=
==═，（x2＞1）
设，则
所以，即…（8分）
（3）
所以=…（9分）
因为a∈（1，2），所以
所以当时，r（x）是增函数，所以当时，
，a∈（1，2）…（10分）
所以，要满足题意就需要满足下面的条件：，
若令，a∈（1，2），
即对任意a∈（1，2），＞0恒成立
因为φ′（a）==…（11分）
分类讨论如下：
①若k=0，则，所以φ（a）在（1，2）递减，
此时φ（a）＜φ（1）=0不符合题意
②若k＜0，则，所以φ（a）在区间（1，2）递减，
此时φ（a）＜φ（1）=0不符合题意．
③若k＞0，则，那么当时，假设t为2与中较小的一个数，即t={}，
则φ（a）在区间（1，min{}）上递减，此时φ（a）＜φ（1）=0不符合题意．
综上可得解得，即实数k的取值范围为…（14分）