Question

已知函数f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0），且a²=b²+1，则不等式f（x）＞0的解集是    ．

Answer

令u（x）=ax-bx，利用定义判断u（x）在x∈（0，+∞）上单调增，从而得到f（x）在x∈（0，+∞）上单调增，由a2=b2+1，可得f（2）=lg（a2-b2）=lg1=0，进而得到f（x）＞0=f（2）．
【解析】
由题意可得：令u（x）=ax-bx，不等式即 lgu（x）＞0，
∵a＞1＞b＞0，
所以u（x）在实数集上是个增函数，且u（x）＞0，
又因为u（0）=0，
所以应有 x＞0，
∴u（x）在定义域（0，+∞）上单调增，
∴f（x）=lg（ax-bx）在x∈（0，+∞）上单调增．
又因为a2=b2+1，
所以f（2）=lg（a2-b2）=lg1=0，
所以f（x）＞0=f（2）
所以（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．