Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求证：C₁A⊥B₁C．

Answer

求证线面平行，就要寻求线线平行，通过连接A1C得交点O，连接OD就找到了中位线，从而找到线线平行关系，问题得以解决．求证线线垂直，往往寻求线面垂直，只要证得C1A⊥平面A1B1C即可．
【解析】
（Ⅰ）连接A1C，设A1C交AC1于点O，连接OD．因为ACC1A1为正方形，所以O为A1C中点，又D为BC中点，所以OD为△A1BC的中位线，
所以A1B∥OD．因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，C1A⊥CA1
因为侧面ABB1A1是正方形，所以AB⊥AA1，
又∠BAC=90°，所以AB⊥AC，又AC∩AB=A
所以AB⊥平面ACC1A1．
又AB∥A1B1，所以A1B1⊥平面ACC1A1．
又因为C1A⊂平面ACC1A1，
所以A1B1⊥C1A．
所以C1A⊥平面A1B1C．
又B1C⊂平面A1B1C，
所以C1A⊥B1C．