Question

已知两点F₁（-1，0）及F₂（1，0），点P在以F₁、F₂为焦点的椭圆C上，且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|构成等差数列．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F₁M⊥l，F₂N⊥l．求四边形F₁MNF₂面积S的最大值．

Answer

（1）依题意，设椭圆C的方程为，c=1．再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，即可得到a，利用b2=a2-c2得到a即可得到椭圆的方程；
（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d1=|F1M|，d2=|F2N|．
法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1-d2|=|MN|×|tanθ|，即可得到四边形F1MNF2面积S的表达式，利用基本不等式的性质即可得出S的最大值；
法二：利用d1及d2表示出及d1d2，进而得到，再利用二次函数的单调性即可得出其最大值．
【解析】
（1）依题意，设椭圆C的方程为．
∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，∴2a=|PF1|+|PF|2=2|F1F2|=4，a=2．
又∵c=1，∴b2=3．∴椭圆C的方程为．
（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．                
由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，
化简得：m2=4k2+3．                          
设，，
法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，
则|d1-d2|=|MN|×|tanθ|，
∴，=，
∵m2=4k2+3，∴当k≠0时，，，．
当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，．   
所以四边形F1MNF2面积S的最大值为．    
法二：∵，．
∴=．
四边形F1MNF2的面积=，
=．  
当且仅当k=0时，，故．
所以四边形F1MNF2的面积S的最大值为．