Question

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，BD∩AC=G．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求证：AE∥平面BFD；
（3）求三棱锥E-ADC的体积．

Answer

（1）由已知中AD⊥平面ABE，AD∥BC，得到BC⊥平面ABE，即AE⊥BC，又由BF⊥平面ACE，即BF⊥AE，再由线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面BCE；
（2）连接GF，由已知BF⊥平面ACE，我们易得GF∥AE，由线面平行的判定定理，可以得到AE∥平面BFD；
（3）由已知可得三棱锥E-ADC的体积等于三棱锥E-ABC的体积，求出三棱锥E-ABC的体积，即可得到棱锥E-ADC的体积．
【解析】
（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC．（2分）
又∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE（4分）
（2）连接GF，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE
∵BE=BC，∴F为EC的中点；
∵矩形ABCD中，G为两对角线的交点且是两线段的中点，
∴GF∥AE，（7分）
∵GF⊂平面BFD，AE⊄平面BFD，
∴AE∥平面BFD．（8分）
（3）∵三棱锥E-ADC的体积等于三棱锥E-ABC的体积
∵VE-ABC==
故棱锥E-ADC的体积为