如图，已知点F（0，1），直线m：y=-1，P为平面上的动点，过点P作m的垂线，...

如图，已知点F（0，1），直线m：y=-1，P为平面上的动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q，且 manfen5.com 满分网

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）（文）过轨迹C的准线与y轴的交点M作方向向量为 manfen5.com 满分网

=（a，1）的直线m′与轨迹C交于不同两点A、B，问是否存在实数a使得FA⊥FB？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由；
（3）（文）在问题（2）中，设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为D（0，y），求y的取值范围．

（1）设P（x，y），由题意，Q（x，-1），利用向量的运算即可得出；（2）由（1）可知：轨迹C为抛物线，准线方程为y=-1，即直线m，所以M（0，-1），当a=0时，直线m'的方程为x=0，与曲线C只有一个公共点，故a≠0．把直线m'的方程与抛物线的方程联立，利用判别式△、根与系数的关系、向量的运算FA⊥FB⇔，即可得出a；（3）由（2），得线段AB的中点为，线段AB的垂直平分线的一个法向量为，即可得到线段AB的垂直平分线的方程，利用（2）的a的取值范围即可得出．【解析】（1）设P（x，y），由题意，Q（x，-1），，，，，由，得2（y+1）=x2-2（y-1），化简得x2=4y．所以，动点P的轨迹C的方程为x2=4y．（2）轨迹C为抛物线，准线方程为y=-1，即直线m，所以M（0，-1），当a=0时，直线m'的方程为x=0，与曲线C只有一个公共点，故a≠0．所以直线m'的方程为，由得a2y2+（2a2-4）y+a2=0，由△=4（a2-2）2-4a4＞0，得0＜a2＜1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2=1，所以，x1x2=4，若FA⊥FB，则，即（x1，y1-1）•（x2，y2-1）=0，x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=0，，解得．所以．（3）由（2），得线段AB的中点为，线段AB的垂直平分线的一个法向量为，所以线段AB的垂直平分线的方程为，令x=0，，因为0＜a2＜1，所以．所以y的取值范围是（3，+∞）．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等