Question

已知A，B是双曲线的两个顶点，点P是双曲线上异于A，B的一点，连接PO（O为坐标原点）交椭圆于点Q，如果设直线PA，PB，QA的斜率分别为k₁，k₂，k₃，且，假设k₃＞0，则k₃的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．4

Answer

由双曲线可得两个顶点A（-2，0），B（2，0）．设P（x，y），则，可得．于是kPA+kPB===．同理设Q（x1，y1），由kOP=kOQ得．得到kQA+kQB=．可得kPA+kPB+kQA+kQB=0，由，可得kQA+kQB=．又kQA•kQB=-，联立解得kQA．
【解析】
由双曲线可得两个顶点A（-2，0），B（2，0）．设P（x，y），则，可得．
∴kPA+kPB===．
设Q（x1，y1），则，得到．
由kOP=kOQ得．
∴kQA+kQB===，
∴kPA+kPB+kQA+kQB=0，
∵，∴kQA+kQB=…①
又kQA•kQB=-=-…②
联立①②解得kQA=2＞0．
故选C．