Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，∠BAD=120°，PA=AB，G、F分别是线段CE、PB的中点．
（Ⅰ） 求证：FG∥平面PDC；
（Ⅱ） 求二面角F-CD-G的正切值．

Answer

（I）连接BD与CE交于点G′，利用平行线分线段成比例定理可证明G′与点G重合．同理证明FG∥PD，利用线面平行的判定定理即可证明结论；
（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量即可得出二面角的平面角．
证明：（I）连接BD与CE交于点G′，∵E为AD的中点，ABCE为菱形，
∴，得到G′为线段CE的中点，故G′与点G重合．
∵，∴FG∥PD，
又∵FG⊄平面PDC，PD⊂平面PDC．
∴FG∥平面PDC．
（II）不妨设AB=2，则P （0，0，2），B，F，C，D（0，4，0）．
∴，．
设平面CDF的法向量为，则，令x=，则y=1，z=3，
∴．
取作为平面GCD的法向量，
则==，即为二面角的余弦值．
设二面角的平面角为θ，则，=，∴tanθ=．
∴二面角F-CD-G的正切值为．