Question

给定有限单调递增数列{x_n}（n∈N^*，n≥2）且x_i≠0（1≤i≤n），定义集合A={（x_i，x_j）|1≤i，j≤n，且i，j∈N^*}．若对任意点A₁∈A，存在点A₂∈A使得OA₁⊥OA₂（O为坐标原点），则称数列{x_n}具有性质P．
（Ⅰ）判断数列{x_n}：-2，2和数列{y_n}：-2，-1，1，3是否具有性质P，简述理由．
（Ⅱ）若数列{x_n}具有性质P，求证：
①数列{x_n}中一定存在两项x_i，x_j使得x_i+x_j=0；
②若x₁=-1，x₂＞0且x_n＞1，则x₂=1．
（Ⅲ）若数列{x_n}只有2013项且具有性质P，x₁=-1，x₃=2，求{x_n}的所有项和S₂₀₁₃．

Answer

（Ⅰ）利用数列{an}具有性质P的概念，对数列{xn}：-2，2与数列{yn}：-2，-1，1，3分析判断即可；
（Ⅱ）①取A1（xi，xi），数列{xn}具有性质P，故存在点A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，利用向量的坐标运算整理即可证得xi+xj=0；
②由（1）知，数列{xn}中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；数列{xn}是单调递增数列且x2＞0，1为数列{xn}中的一项，通过反证法可证得x2=1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，x2=1．若数列{xn}只有2013项且具有性质P，可得x4=4，x5=8，猜想数列{xn}从第二项起是公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式计算即可．
【解析】
（Ⅰ）数列{xn}具有性质P，数列数列{yn}不具有性质P．
对于数列{xn}，若A1（-2，2），则A2（2，2）；若A1（-2，-2）则A2（2，-2）；均满足OA1⊥OA2，所以具有性质P．
对于数列{yn}，当A1（-2，3）若存在A2（x，y）满足OA1⊥OA2，即-2x+3y=0，即=，数列{yn}中不存在这样的数x，y，因此不具有性质P．…（3分）
（Ⅱ）（1）取A1（xi，xi），又数列{xn}具有性质P，所以存在点A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，即xixi+xixj=0，又xi≠0，所以xi+xj=0．…（5分）
（2）由（1）知，数列{xn}中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；又数列{xn}是单调递增数列且x2＞0，所以1为数列{xn}中的一项．
假设x2≠1，则存在k（2＜k＜n，k∈N*）有xk=1，所以0＜x2＜1．
此时取A1（x2，xn），数列{xn}具有性质P，所以存在点A2（xi，xs）使得OA1⊥OA2，所以x2xi+xnxs=0；只有x1，所以当x1=-1时x2=xnxs＞xs≥x2，矛盾；
当xs=-1时x2=≥1，矛盾．所以x2=1．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，x2=1．若数列{xn}只有2013项且具有性质P，可得x4=4，x5=8，
猜想数列{xn}从第二项起是公比为2的等比数列．（用数学归纳法证明）．
所以S2013=-1+1+2+4+…+22011==22012-2     …（13分）