Question

已知函数f（x）=，函数h（x）=f（x）-g（x）在定义域内是增函数，且h′（x）义域内存在零点（h′（x）为h（x）的导函数）．
（I）求a的值；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）是函数y=g（x）的图象上两点，g′（x）=，试比较x₁与x的大小，并说明理由．

Answer

（I）写出h（x），求导数h′（x），h（x）在区间（0，+∞）上是增函数，等价于h′（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，即在区间（0，+∞）上恒成立，由此得△≤0，由h′（x）存在正零点，得△≥0，从而△=0，由此可解a值；
（II）由g′（x）=得，，作差：x1-x=，构造函数r（x）=xlnx2-xlnx-x2+x，利用导数可判断r（x）的单调性，借助单调性即可判断差的符号，从而得到结论；
【解析】
（I）因为h（x）=-2x+logax+2（x＞0），
所以h′（x）=x-2+=，
因为h（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
所以≥0在区间（0，+∞）上恒成立，即在区间（0，+∞）上恒成立，
所以△≤0，
又h′（x）存在正零点，故△≥0，
所以△=0，即4-=0，所以lna=1，
所以a=e．
（II）结论x＞x1，理由如下：
由（I），g′（x）=-=-，
由g′（x）=得，，
x1-x=x1-=，
∵x1＜x2，∴lnx2-lnx1＞0，
令r（x）=xlnx2-xlnx-x2+x，
r′（x）=lnx2-lnx在（0，x2]上，r′（x）＞0，
所以r（x）在（0，x2]上为增函数，
当x1＜x2时，r（x1）＜r（x2）=0，即x1lnx2-x1lnx1-x2+x1＜0，
从而x＞x1得到证明．