Question

已知点A（1，0），P₁、P₂、P₃是平面直角坐标系上的三点，且|AP₁|、|AP₂|、|AP₃|成等差数列，公差为d，d≠0．
（1）若P₁坐标为（1，-1），d=2，点P₃在直线3x-y-18=0上时，求点P₃的坐标；
（2）已知圆C的方程是（x-3）²+（y-3）²=r²（r＞0），过点A的直线交圆于P₁、P₃两点，P₂是圆C上另外一点，求实数d的取值范围；
（3）若P₁、P₂、P₃都在抛物线y²=4x上，点P₂的横坐标为3，求证：线段P₁P₃的垂直平分线与x轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．

Answer

（1）利用P1坐标为（1，-1），d=2，求出|AP3|，利用点P3在直线3x-y-18=0上，解方程组即可求点P3的坐标；
（2）求出圆C的方程是（x-3）2+（y-3）2=r2（r＞0），的圆心与半径，求出点A与圆的圆心的距离，通过A在圆内与圆外，分别求实数d的取值范围；
（3）利用P1、P2、P3都在抛物线y2=4x上，抛物线的定义，求出线段P1P3的斜率，求出直线方程，通过y=0，推出直线与x轴的交点为一定点，即可求该定点的坐标．
解（1）因为|AP1|、|AP2|、|AP3|成等差数列，且|AP1|=1，d=2，所以|AP3|=5，
设P3（x，y）
则，消去y，得x2-11x+30=0，…（2分）
解得x1=5，x2=6，所以P3的坐标为（5，-3）或（6，0）
（2）由题意可知点A到圆心的距离为…（6分）
（ⅰ）当时，点A（1，0）在圆上或圆外，|2d|=||AP3|-|AP1||=|P1P3|，
又已知d≠0，0≤|P1P3|≤2r，所以-r≤d＜0或 0＜d≤r
（ⅱ）当时，点A（1，0）在圆内，所以，
又已知d≠0，，即或
结论：当时，-r≤d＜0或 0＜d≤r；当时，或
（3）因为抛物线方程为y2=4x，所以A（1，0）是它的焦点坐标，
点P2的横坐标为3，即|AP2|=4
设P1（x1，y1），P3（x3，y3），则|AP1|=x1+1，|AP3|=x3+1，|AP1|+|AP3|=2|AP2|，
所以x1+x3=2x2=6
直线P1P3的斜率，则线段P1P3的垂直平分线l的斜率
则线段P1P3的垂直平分线l的方程为
直线l与x轴的交点为定点（5，0）