Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=a（a≠3），，设，n∈N^*．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求实数a的最小值；
（3）当a=4时，给出一个新数列{e_n}，其中，设这个新数列的前n项和为C_n，若C_n可以写成t^p（t，p∈N^*且t＞1，p＞1）的形式，则称C_n为“指数型和”．问{C_n}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）依题意，可求得Sn+1=2Sn+3n，当a≠3时，=2，利用等比数列的定义即可证得数列{bn}是等比数列；
（2）由（1）可得Sn-3n=（a-3）×2n-1，an=Sn-Sn-1，n≥2，n∈N*，从而可求得an=，由an+1≥an，可求得a≥-9，从而可求得实数a的最小值；
（3）由（1）当a=4时，bn=2n-1，当n≥2时，Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，可证得对正整数n都有Cn=2n+1，依题意由tp=2n+1，tp-1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．分①当p为偶数时与②当p为奇数讨论即可得到答案．
【解析】
（1）an+1=Sn+3n⇒Sn+1=2Sn+3n，bn=Sn-3n，n∈N*，
当a≠3时，===2，
所以{bn}为等比数列．b1=S1-3=a-3，bn=（a-3）×2n-1．
（2）由（1）可得Sn-3n=（a-3）×2n-1，
an=Sn-Sn-1，n≥2，n∈N*，
∴an=，
∵an+1≥an，
∴a≥-9，又a≠3，
所以a的最小值为-9；
（3）由（1）当a=4时，bn=2n-1，
当n≥2时，Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，
所以对正整数n都有Cn=2n+1．
由tp=2n+1，tp-1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．
①当p为偶数时，tp-1=（+1）（-1）=2n，
因为tp+1和tp-1都是大于1的正整数，
所以存在正整数g，h，使得tp+1=2g，-1=2h，2g-2h=2，2h（2g-h-1）=2，
所以2h=2且2g-h-1=1⇒h=1，g=2，相应的n=3，即有C3=32，C3为“指数型和”；
②当p为奇数时，tp-1=（t-1）（1+t+t2+…+tp-1），由于1+t+t2+…+tp-1是p个奇数之和，仍为奇数，又t-1为正偶数，
所以（t-1）（1+t+t2+…+tp-1）=2n不成立，此时没有“指数型和”．