Question

定义在区间[a，b]的长度为b-a，用[x]表示不超过x的最大整数．设f（x）=[x]（x-[x]），g（x）=x-1，则0≤x≤2012时，不等式f（x）≤g（x）的解集的区间长度为    ．

Answer

根据0≤x≤2012，分两种情况考虑：当0≤x＜1时，[x]=0，可得出x-1小于0，进而确定出f（x）=0，g（x）小于0，进而得到此时f（x）大于g（x），不合题意；当1≤x≤2012时，假设n≤x＜n+1，则[x]=n，表示出f（x），利用作差法判断出f（x）-g（x）的符合为负，可得出不等式f（x）≤g（x）的解集，即可求出解集的区间长度．
【解析】
当0≤x＜1时，[x]=0，x-1＜0，
∴f（x）=0，g（x）=x-1＜0，即f（x）＞g（x），不合题意；
当1≤x≤2012时，假设n≤x＜n+1，则[x]=n，
∴f（x）=n（x-n），又g（x）=x-1，
∴f（x）-g（x）=n（x-n）-x+1=（n-1）x-n2+1＜（n-1）（n+1）-n2+1=0，
∴不等式f（x）≤g（x）的解集为[1，2012]，
则不等式f（x）≤g（x）的解集的区间长度为2012-1=2011．
故答案为：2011