Question

平面直角坐标系中，已知点A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），当四边形PABN的周长最小时，过三点A、P、N的圆的圆心坐标是    ．

Answer

根据两点之间的距离公式，列出四边形PABN的周长关于a的表达式，得到x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和最小时，四边形PABN的周长也最小．利用对称思想结合直线方程的求法，可得a值为时，四边形PABN的周长最小．从而得到P、N的坐标，再用直线方程的一般式，求出经过三点A、P、N的圆方程，从而得到圆心的坐标．
【解析】
四边形PABN的周长为
C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=+++1
=+++1，
只需求出+的最小值时的a值．
由于+=+，
表示x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和，只需该距离之和最小即可．
利用对称的思想，可得该距离之和的最小值为（1，-3）与（3，1）间的距离，
且取得最小的a值为E（1，-3）与F（3，1）确定的直线与x轴交点的横坐标，
∵直线EF的斜率k==2，∴直线EF方程为y+3=2（x-1），化简得y=2x-5，
令y=0，得x=，所以此时a值为
由以上的讨论，得四边形PABN的周长最小时，P（，1），N（，1）
设过三点A、P、N的圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
可得，解之得D=-6，E=，F=
∴过三点A、P、N的圆方程为x2+y2-6x+y+=0，可得圆坐标为（3，-）
故答案为：（3，-）