Question

已知各项均为正整数的数列{a_n}满足a_n＜a_n+1，且存在正整数k（k＞1），使得a₁+a₂+…+a_k=a₁•a₂…a_k，a_n+k=k+a_n（n∈N^*）．
（1）当k=3，a₁a₂a₃=6时，求数列{a_n}的前36项的和S₃₆；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）若数列{b_n}满足，且b₁=192，其前n项积为T_n，试问n为何值时，T_n取得最大值？

Answer

（1）设cn=a3n-2+a3n-1+a3n，由an+3=3+an，得cn+1=cn+9，所以数列{cn}是公差为9的等差数列，由此可求数列{an}的前36项的和S36；
（2）确定a1=1，a2=2，a3=3，且an+3=3+an，从而可求数列的通项；
（3）根据，可得，从而可得{b2n}，{b2n-1}都是以为公比的等比数列，由此可求数列{bn}的通项，进一步确定n≥13，n为奇数时，|T2|＜|T4|＜…＜|T12|，|T12|＞|T14|＞…；n为偶数时，|T1|＜|T3|＜…＜|T13|，|T13|＞|T15|＞…，由此可得结论．
【解析】
（1）当k=3，a1a2a3=6，则a1+a2+a3=6．
设cn=a3n-2+a3n-1+a3n，由an+3=3+an，得cn+1=cn+9，所以数列{cn}是公差为9的等差数列，
故．…（4分）
（2）若k=2时，a1+a2=a1•a2，又a1＜a2，
所以a1•a2＜2a2，所以a1=1，此时1+a2=a2，矛盾．  …（6分）
若k=3时，a1+a2+a3=a1•a2•a3，所以a1•a2•a3＜3a3，a1•a2＜3，
所以a1=1，a2=2，a3=3，满足题意． …（8分）
若k≥4时，a1+a2+…+ak=a1•a2•…•ak，所以a1•a2•…•ak＜kak，即a1•a2•…•ak-1＜k，
又因为a1•a2•…•ak-1＞1×2×…×（k-1）≥2k-2＞k，所以k≥4不满足题意．…（10分）
所以，a1=1，a2=2，a3=3，且an+3=3+an，
所以a3n-2=a1+3（n-1）=3n-2，a3n-1=a2+3（n-1）=3n-1，a3n=a3+3（n-1）=3n，
故an=n．   …（12分）
（3）因为，所以
所以，所以{b2n}，{b2n-1}都是以为公比的等比数列，
所以bn=   …（14分）
令|bn•bn+1|＜1，即，∴，
所以n≥13，n为奇数时，有|b1•b2|＞1，|b3•b4|＞1，…，|b11•b12|＞1，|b13b14|＜1，|b15•b16|＜1，
从而|T2|＜|T4|＜…＜|T12|，|T12|＞|T14|＞…，
n为偶数时，有|b2•b3|＞1，|b4•b5|＞1，…，|b12•b13|＞1，|b14•b15|＜1，|b16•b17|＜1，
从而|T1|＜|T3|＜…＜|T13|，|T13|＞|T15|＞…，
注意到T12＞0，T13＞0，且T13=b13•T12=3T12＞T12，
所以数列{bn}的前n项积Tn最大时n的值为13． …