Question

已知数列{a_n} （n∈N^*）是首项为a，公比为q≠0的等比数列，S_n是数列{a_n} 的前n项和，已知12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．
（Ⅰ）当公比q取何值时，使得a₁，2a₇，3a₄成等差数列；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2．

Answer

（Ⅰ）由已知12S3，S6，S12-S6成等比数列，结合等比数列的性质及求和公式可求q，然后代入检验即可
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求：na3n-2=，结合数列的通项的特点，考虑利用错位相减求和即可
【解析】
（Ⅰ）由题意可知，a≠0
①当q=1时，则12s3=36a，s6=6a，s12-s6=6a，
此时不满足条件12S3，S6，S12-S6成等比数列；…（1分）
②当q≠1时，则，s6=
s12-s6=
由题意得：12×=
化简整理得：（4q3+1）（3q3-1）（1-q3）（1-q6）=0
解得：或或q=-1…（4分）
当q=-1时，a1+3a4=-2a，2a7=2a，
∴a1+3a4≠2（2a7），不满足条件；
当时，，，
即∴a1+3a4=2（2a7），所以当q=-时，满足条件
当时，，
∴a1+3a4≠2（2a7），从而当时，不满足条件
综上，当q=时，使得a1，2a7，3a4成等差数列．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：na3n-2=
所以…①
则=…②
①-②得：
=
所以Tn=．…（13分）