在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0），B（1，0），动点C满足：△AB...

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0），B（1，0），动点C满足：△ABC的周长为2+2 manfen5.com 满分网

，记动点C的轨迹为曲线W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）曲线W上是否存在这样的点P：它到直线x=-1的距离恰好等于它到点B的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设E曲线W上的一动点，M（0，m），（m＞0），求E和M两点之间的最大距离．

（Ⅰ）由：△ABC的周长为2+2，得到两边BC与AC的长度和，又点A（-1，0），B（1，0），符合椭圆定义，所以W的方程可求；（Ⅱ）若线W上存在这样的点P：它到直线x=-1的距离恰好等于它到点B的距离，说明点P又在抛物线在y2=4x上，联立椭圆和抛物线方程即可得到点P的坐标；（Ⅲ）把动点E的坐标仅用y表示，然后直接写出E和M两点之间的距离，距离中只含有参数m，对m进行分类讨论求解距离的最大值．【解析】（Ⅰ）设C（x，y），∵△ABC的周长为，∴，又|AB|=2，∴，根据椭圆的定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆（除去与x轴的两个交点）．从而，b2=a2-c2=1 ∴W的方程为（y≠0）；（Ⅱ）存在两个点和满足题意．事实上，假设存在点P满足题意，则点P为抛物线y2=4x与曲线（y≠0）的交点，由消去y得：x2+8x-2=0．解得或（舍去）．把代人抛物线的方程得．所以存在两个点和满足题意．（Ⅲ）设E（x，y），则由（y≠0）得x2=2-2y2（-1≤y≤1，且y≠0）=．若-m＜-1，即m＞1时，当y=-1时，；若-1≤-m＜0，即0＜m≤1时，当y=-m时，．

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考点分析：

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难度：中等