Question

如图：四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且∠DAB=90°，E为SD的中点，SA⊥平面ABCD，且AB=1，SA=AD=CD=2．延长DA，与CB的延长线交于点M．
（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD的体积；
（Ⅱ）求证：AE∥平面SBC；
（Ⅲ）求证：平面SMC⊥平面SCD．

Answer

（I）由SA⊥平面ABCD，得SA是四棱锥的高．利用四棱锥的体积计算公式即可得到；
（II）取SC的中点F，连接EF，BF，利用三角形的中位线定理可得EF∥DC且EF=DC，再利用已知DC∥AB，四边形EFBA为平行四边形，于是AE∥BF，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（III）由SA⊥平面ABCD，则SA⊥CD，又AD⊥CD，利用线面垂直的判定定理可得CD⊥平面SAD，从而CD⊥SM．再证明且A=AD=AM=2，所以三角形SMD为等腰直角三角形，且SD⊥SM．从而SM⊥平面SCD．
（I）【解析】
∵SA⊥平面ABCD，∴SA是四棱锥的高．
又S直角梯形=，
∴，
证明：（Ⅱ）取SC的中点F，连接EF，BF，
则EF∥DC且EF=DC，
又DC∥AB，．
∴．
故四边形EFBA为平行四边形，
从而AE∥BF，
所以AE∥平面SBC．
（Ⅲ）∵SA⊥平面ABCD，则SA⊥CD，又AD⊥CD，
故CD⊥平面SAD，从而CD⊥SM．
DA与CB的延长线交于点M，且，则A为MD的中点，
又SA⊥MD，且SA=AD=AM=2
所以三角形SMD为等腰直角三角形，且SD⊥SM．
而CD，SD是平面SCD内的两条相交直线，从而SM⊥平面SCD．
所以平面SMC⊥平面SCD．