Question

下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．
B．y=2^x
C．y=
D．y=-x³

Answer

根据奇函数在x=0处函数值为0，得A项不是奇函数，不符合题意；根据指数函数的单调性，得y=2x是R上的增函数，不符合题意；根据函数y=x是R上的增函数，得C项不符合题意；由此可得只有D项符合题意，再利用单调性和奇偶性的定义加以证明即可．
【解析】
对于A，因为函数当x=0时，y=sin（-）≠0
所以不是奇函数，故A项不符合题意；
对于B，因为2＞1，所以指数函数y=2x是R上的增函数，
不满足在其定义域内是减函数，故B项不符合题意；
对于C，显然函数y=x是R上的增函数，故C项也不符合题意；
对于D，设f（x）=-x3，可得
f（-x）=-（-x）3=x3=-f（x），因此函数y=-x3是奇函数，
又因为f′（x）=-2x2≤0恒成立，可得y=-x3是其定义域内的减函数
∴函数y=-x3是其定义域内的奇函数且是减函数，故D项符合题意
故选：D