Question

如图，线段AB长度为2，点A，B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，BC=1，O为坐标原点，则的取值范围是    ．

Answer

令∠OAD=θ，由边长为1，2的长方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．
【解析】
如图令∠OAB=θ，由于AB=2故0A=2cosθ，OB=2sinθ，
如图∠DAX=-θ，BC=1，故xD=2cosθ+cos（ -θ）=2cosθ+sinθ，
yD=sin（ -θ）=cosθ
故 =（2cosθ+sinθ，cosθ）
同理可求得C（sinθ，cosθ+2sinθ），即 =（sinθ，cosθ+2sinθ），
∴=（2cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+2sinθ）=1+2sin2θ，
∵sin2θ∈[0，1]，∴的最大值是3，最小值是1，
故答案是：[1，3]．