Question

如图1，△ABC的三边长分别为AC=6、AB=8、BC=10，O′为其内心；取O′A、O′B、O′C的中点A′、B′、C′，并按虚线剪拼成一个直三棱柱ABC-A′B′C′（如图2），上下底面的内心分别为O′与O；
（Ⅰ）求直三棱柱ABC-A′B′C′的体积；
（Ⅱ）直三棱柱ABC-A′B′C′中，设线段OO'与平面AB′C交于点P，求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer

（I）根据△ABC的三边的平方关系，得△ABC为直角三角形，算出其内切圆半径r=2，从而得到直三棱柱ABC-A′B′C′的底面三角形的形状和高AA'的长，结合柱体体积公式即可算出直三棱柱ABC-A′B′C′的体积；
（II）以A为原点，AB、AC、AA'为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，可得向量、坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出是平面AB'C的一个法向量；同样的方法算出是平面ABP的一个法向量，利用空间向量的夹角公式算出=，结合图形加以观察即可得到二面角B-AP-C的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）根据题意，可得△ABC为直角三角形，
∵△ABC的内切圆半径r==2，-----（1分）
∴直三棱柱ABC-A'B'C'的高等于r=1，-----------------------------（2分）
∵△A'B'C'是两条直角边分别为3、4的直角三角形，
∴直三棱柱ABC-A′B′C′的体积；-----------（5分）
（Ⅱ）如图，以A为原点，AB、AC、AA'为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，
设平面AB'C的法向量，
则，取x=1，得y=0，z=-4，所以--------------------（7分）
再设，由算出，可得；-------------（10分）
而，设平面ABP的法向量，
则，取y'=1，可得；-------------------------------（12分）
∴==，
再根据图形，得二面角B-AP-C为钝角，即二面角B-AP-C的平面角与互为补角
因此，二面角B-AP-C的余弦值等于．------------------------------------（14分）