Question

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]时，求证：．

Answer

（1））因为函数f（x）图象关于原点对称，所以对任意实数x有f（-x）=-f（x），即可得出b，d；由x=1时，f（x）取极小值，解出即可；
（2）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立．利用导数得出切线的斜率，再用反证法即可证明；
（3）利用导数得出函数在区间[-1，1]上的单调性，得出其最大值与最小值，即可证明．
解（1）∵函数f（x）图象关于原点对称，∴对任意实数x有f（-x）=-f（x），
∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立，
∴b=0，d=0，∴f（x）=ax3+cx，f'（x）=3ax2+c，
∵x=1时，f（x）取极小值，∴即，
解得．
故，b=d=0，c=-1．
（2）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立．
假设图象上存在两点A（x1，y1）、B（x2，y2），使得过此两点处的切线互相垂直，
则由f'（x）=x2-1，知两点处的切线斜率分别为，
且（*）．
∵x1、x2∈[-1，1]，∴，∴
此与（*）相矛盾，故假设不成立．
（3）证明：∵f'（x）=x2-1，令f'（x）=0，得x=±1，
∵x∈（-∞，-1），或x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0；x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，
∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且
∴在[-1，1]上，时，
．