Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的对称轴上的定点M（m，0）（m＞0），作直线AB与抛物线相交于A，B两点．
（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；
（2）若点N是定直线l：x=-m上的任一点，试探索三条直线AN，MN，BN的斜率之间的关系，并给出证明．

Answer

（1）设直线AB的方程为：x=ty+m，与y2=2px联立，消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系即可证明；
（2）三条直线AN，MN，BN的斜率成等差数列．设点N（-m，n），则直线AN的斜率为，直线BN的斜率为，再利用（1）的结论即可证明．
（1）证明：．设A（x1，y1），B（x2，y2）有y1•y2=-2pm，下证之：
设直线AB的方程为：x=ty+m，与y2=2px联立
消去x得y2-2pty-2pm=0，
由韦达定理得y1•y2=-2pm，
（2）【解析】
三条直线AN，MN，BN的斜率成等差数列，下证之：
设点N（-m，n），则直线AN的斜率为，
直线BN的斜率为，
∴=
=
=
又∵直线MN的斜率为，
∴kAN+kBN=2kMN
即直线AN，MN，BN的斜率成等差数列．