Question

考察下列式子：…；请你做出一般性的猜想，并且证明你猜想的结论．

Answer

由图表可猜想：第n行的连续的2n-1个数的和为：（（n-1）2+1）+（（n-1）2+2）+…+（（n-1）2+2n-1）=（n-1）3+n3．
【解析】
∵等式的左边第一行一个数是1，为12；第二行三个数，为2，3，4，最后一个数是22；第三行五个数，为5，6，7，8，9，最后一个数是32，…
∴可猜想：第n-1行左端最后一个数是（n-1）2，右端为：（n-23+（n-1）3，
∴第n行左端第一个数是（n-1）2+1，有连续的2n-1个数相加，等式右端为：（n-1）3+n3，
即：（（n-1）2+1）+（（n-1）2+2）+…+（（n-1）2+2n-1）=（n-1）3+n3．
证明：①当n=1时，左端=1=右端，等式成立；
②假设当n=k时等式成立，即（（k-1）2+1）+（（k-1）2+2）+…+（（k-1）2+2k-1）=（k-1）3+k3，
则当n=k+1时，
（[（k+1）-1]2+1）+（[（k+1）-1]2+2）+…+（[（k+1）-1]2+2k-1）+（[（k+1）-1]2+2k）+（[（k+1）-1]2+2k+1）
=[（（k-1）2+1）+2（k-1）+1]+[（（k-1）2+2）+2（k-1）+1]+…+[（（k-1）2+2k-1）+2（k-1）+1]+（[（k+1）-1]2+2k）+（[（k+1）-1]2+2k+1）
=（（k-1）2+1）+（（k-1）2+2）+…+（（k-1）2+2k-1）+[2（k-1）+1]（2k-1）+（[（k+1）-1]2+2k）+（[（k+1）-1]2+2k+1）
=（k-1）3+k3+（2k-1）（2k-1）+k2+2k+k2+2k+1
=k3+[（k-1）3+6k2-4k+4k+2]
=k3+（k3-3k2+3k-1+6k2-4k+4k+2）
=k3+（k3+3k2+3k+1）
=k3+（k+1）3
=[（k+1）-1]3+（k+1）3．
即n=k+1时，等式也成立．
综合①②可知，对任意n∈N*，（（n-1）2+1）+（（n-1）2+2）+…+（（n-1）2+2n-1）=（n-1）3+n3成立．