Question

已知椭圆的上、下焦点分别为F₂和F₁，点A（1，-3），
（1）在椭圆上有一点M，使|F₂M|+|MA|的值最小，求最小值；
（2）当|F₂M|+|MA|取最小值时，求三角形AMF₂的周长．

Answer

（1）利用椭圆的定义表示出|MF1|+|MF2|，利用三点共线求出|F2M|+|MA|的最小值，以及取得最小值时的条件；
（2）当|F2M|+|MA|取最小值时，此时M、A、F1共线．结合椭圆的定义及两点间的距离公式，从而三角形AMF2的周长．
【解析】
（1）如图，椭圆的a=5，b=3，c=4．F2（0，4），F2（0，4），
|AF1|=，M是椭圆上任一点，由|MF1|+|MF2|=2a=10，
∴|F2M|+|MA|≥2a-|MF1|+|MA|=10-（|MF1|-|MA|）≥10-|AF1|≥10-，
等号仅当|MF1|-|MA|=|AF1|时成立，此时M、A、F1共线．
∴|F2M|+|MA|的值最小值为10-，
（2）当|F2M|+|MA|取最小值时，此时M、A、F1共线．
三角形AMF2的周长：
l=|MF2|+|MA|+|AF2|=|MF2|+|MF1|-|MA|+|AF2|
=10-+5=10-4．