Question

设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对于任意的实数x，y都有 f（x+y）=f（x）•f（y）成立，
（1）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）若数列{a_n}满足，求{a_n}的通项公式；
（3）如果，b_n=lgf（a_n），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）采用赋值法：令x=-1、y=0代入，并结合f（-1）＞1化简得f（0）=1．再取y=-x，代入题中等式化简得到当x＞0时，f（x）=，从而得到当x∈R时，总有f（x）＞0成立．最后根据函数单调性的定义，即可证出当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2），可得函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；
（2）因为，结合函数对应法则化简，得到f（an+1）=f（an+2），结合函数的单调性得数列{an}是公差为2的等差数列，根据等差数列通项公式可得an的表达式；
（3）根据函数的对应法则，结合证出数列{f（n）}构成以公比q=的等比数列，可得，进而得到f（an）=，由此算出数列{bn}是以为首项，以为公差的等差数列，结合等差数列求和公式即可算出{bn}的前n项和Sn的表达式．
【解析】
由x，y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y），x＜0时，f（x）＞1可得：
（1）令x=-1，y=0，得f（-1+0）=f（-1）•f（0），即f（-1）=f（-1）•f（0），
∵-1＜0，得f（-1）＞1，∴两边约去f（-1），可得f（0）=1；      …（2分）
若x＞0，则-x＜0，可得f（-x）＞1，则1=f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x），
∴当x＞0时，，
结合f（0）=1得当x∈R时，总有f（x）＞0成立；…（4分）
对任意的x1、x2，且x1＜x2，得x2-x1＞0
∴f（x2-x1）∈（0，1），
从而f（x2）-f（x1）=f（x1+x2-x1）-f（x1）=f（x1+（x2-x1））-f（x1）
=f（x1）•f（x2-x1）-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]＜0；
即当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）成立，当由此可得函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．…（6分）
（2）
∵函数f（x）是R上单调函数，
∴an+1=an+2，…（8分）
由此可得：数列{an}是首项a1=1，公差d=2的等差数列，
即通项公式为an=2n-1．…（10分）
（3）当时，可得，…，f（n+1）=f（n）•f（1）=f（n），（n∈N*）
∴数列{f（n）}构成以为首项，公比q=的等比数列，可得，
∵an=2n-1，∴f（an）=
因此，数列{bn}的通项公式为，…（12分）
可得数列{bn}是以为首项，以为公差的等差数列，
因此，数列{bn}前n项和为：．…（14分）