Question

对于△ABC，有如下四个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形，
②若sinB=cosA，则△ABC是直角三角形
③若sin²A+sin²B＞sin²C，则△ABC是钝角三角形
④若，则△ABC是等边三角形
其中正确的命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①若sin2A=sin2B，则 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B或C=，可知①不正确．
②若sinA=cosB，找出∠A和∠B的反例，即可判断则△ABC是直角三角形的正误．
③由sin2A+sin2B＞sin2C，结合正弦定理可得a2+b2＞c2，再由余弦定理可得cosC＞0，所以C为锐角．
④利用正弦定理，化简，可得sin=sin=sin，从而可得==．
【解析】
①若sin2A=sin2B，则 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=，故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①不正确．
②若sinA=cosB，例如∠A=100°和∠B=10°，满足sinA=cosB，则△ABC不是直角三角形，故②不正确．
③由sin2A+sin2B＞sin2C，结合正弦定理可得a2+b2＞c2，再由余弦定理可得cosC＞0，∴C为锐角，故③不正确．
④∵，∴sin=sin=sin，由于半角都是锐角，∴==，∴△ABC是等边三角形，故④正确
故选A．