Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直观图及三视图（主视图和俯视图是正方形，左侧图是等腰直角三角形）如图，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求证：A₁C⊥平面BDC₁；
（3）求二面角A-BC₁-D的正切值．

Answer

由三视图可知，几何体为直三棱柱ABC-A1B1C1，侧面B1C1CB为边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB=BC=2
（1）证明AB1∥平面BDC1，证明OD∥AB1即可；
（2）证明A1C⊥平面BDC1，利用线面垂直的判定，只需证明BD⊥A1C，B1C⊥A1C；
（3）补成正方体，则∠O1OS为二面角的平面角，利用正切函数可得结论．
（1）证明：由三视图可知，几何体为直三棱柱ABC-A1B1C1，侧面B1C1CB为边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB=BC=2…（2分）
连B1C交BC1于O，连接OD，在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，
而AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1；…..（4分）
（2）证明：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴AA1⊥BD，
∵AB=BC=2，D为AC的中点，∴BD⊥AC，
∴BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C①…..（6分）
又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，∴A1B1⊥平面B1C1CB
∴A1B1⊥B1C，
在正方形B1C1CB中，BC1⊥B1C，
∵B1C，A1B1⊂平面A1B1C，B1C∩A1B1⊂=B1，
∴B1C⊥平面A1B1C，
∴B1C⊥A1C②…..（8分）
由①②，又BD∩BC1=B，BD，BC1⊂平面BDC1，
∴A1C⊥平面BDC1；…9
（3）【解析】
如图补成正方体，则∠O1OS为二面角的平面角，∵O1O=2，O1S=，∴tan∠O1OS=…..14