Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB=AA₁=．
（Ⅰ） 证明：平面A₁BD∥平面CD₁B₁；
（Ⅱ） 求三棱柱ABD-A₁B₁D₁的体积．

Answer

（Ⅰ）由四棱柱的性质可得四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等，可得 BD∥平面CB1D1．同理可证，A1B∥平面CB1D1．而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面A1BD∥平面CD1B1 ．
（Ⅱ） 由题意可得A1O为三棱柱ABD-A1B1D1的高，由勾股定理可得A1O= 的值，再根据三棱柱ABD-A1B1D1的体积V=S△ABD•A1O，运算求得结果．
【解析】
（Ⅰ）∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=，
由棱柱的性质可得BB1 和DD1平行且相等，故四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等．
而BD不在平面CB1D1内，而B1D1在平面CB1D1内，∴BD∥平面CB1D1．
同理可证，A1BCD1为平行四边形，A1B∥平面CB1D1．
而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，故有平面A1BD∥平面CD1B1 ．
（Ⅱ） 由题意可得A1O为三棱柱ABD-A1B1D1的高．三角形A1AO中，由勾股定理可得A1O===1，
∴三棱柱ABD-A1B1D1的体积V=S△ABD•A1O=•A1O=×1=1．