Question

已知函数f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ） 求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ） 证明：曲线y=f（x）与曲线y=有唯一公共点．
（Ⅲ） 设a＜b，比较f（）与的大小，并说明理由．

Answer

（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；
（II）令h（x）=f（x）-=，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出；
（III）利用作差法得 ===，构造函数，令g（x）=x+2+（x-2）ex（x＞0），利用导数研究其单调性即可证明．
（I）【解析】
函数f（x）=ex的反函数为g（x）=lnx，
∵，∴g′（1）=1，
∴f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程为y-0=1×（x-1），即y=x-1；
（Ⅱ）证明：令h（x）=f（x）-=，
则h′（x）=ex-x-1，
h′′（x）=ex-1，
当x＞0时，h′′（x）＞0，h′（x）单调递增；当x＜0时，h′′（x）＜0，h′（x）单调递减，
故h′（x）在x=0取得极小值，即最小值，
∴h′（x）≥h′（0）=0，
∴函数y=h（x）在R上单调递增，最多有一个零点，
而x=0时，满足h（0）=0，是h（x）的一个零点．
所以曲线y=f（x） 与曲线y=有唯一公共点（0，1）．
（Ⅲ） =
=
=，
令g（x）=x+2+（x-2）ex（x＞0），则g′（x）=1+（x-1）ex．
g′′（x）=xex＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）g（x）＞0．
∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）•ex＞0，且a＜b，
∴，
即当a＜b时，．