Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足，且a₂，a₅，a₁₄构成等比数列．
（1）证明：；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有．

Answer

（1）对于，令n=1即可证明；
（2）利用，且，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．
（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．
【解析】
（1）当n=1时，，
∵
（2）当n≥2时，满足，且，
∴，
∴，
∵an＞0，∴an+1=an+2，
∴当n≥2时，{an}是公差d=2的等差数列．
∵a2，a5，a14构成等比数列，∴，，解得a2=3，
由（1）可知，，∴a1=1∵a2-a1=3-1=2，
∴{an}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．
∴数列{an}的通项公式an=2n-1．
（3）由（2）可得式=．
∴