Question

已知a为常数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax-1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1-2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．
【解析】
∵=lnx+1-2ax，（x＞0）
令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax-1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1-2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．
．
①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．
②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，
∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．
∵，f′（x1）=lnx1+1-2ax1=0，f′（x2）=lnx2+1-2ax2=0．
且f（x1）=x1（lnx1-ax1）=x1（2ax1-1-ax1）=x1（ax1-1）=-＜0，
f（x2）=x2（lnx2-ax2）=x2（ax2-1）＞=-．（）．
故选D．