Question

如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E-l-C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．

Answer

（I）直线l∥平面PAC．连接EF，利用三角形的中位线定理可得，EF∥AC；利用线面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC．由线面平行的性质定理可得EF∥l．再利用线面平行的判定定理即可证明直线l∥平面PAC．
（II）综合法：利用线面垂直的判定定理可证明l⊥平面PBC．连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BC．故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角，即∠CBF=β．
已知PC⊥平面ABC，可知CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．由BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；
向量法：以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
【解析】
（Ⅰ）直线l∥平面PAC，证明如下：
连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，
又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．
而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．
因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC．
（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD，且l∥AC．
因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．
已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l．
而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．
连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BC．
故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角，即∠CBF=β．
由，作DQ∥CP，且．
连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，
从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD．
连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，
故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．
又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，
于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得，
从而．
（Ⅱ）（向量法）如图2，由，作DQ∥CP，且．
连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD．
以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a，CB=b，CP=2c，则有．
于是，
所以，从而，
又取平面ABC的一个法向量为，可得，
设平面BEF的一个法向量为，
所以由可得．
于是，从而．
故，即sinθ=sinαsinβ．