Question

设n是正整数，r为正有理数．
（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）^r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令的值．
（参考数据：．

Answer

（Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数f′（x），令f'（x）=0，解得x=0，再求出函数的单调区间，进而求出最小值为f（0）=0；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，令代入并化简得，再令得，，即结论得到证明；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，令，n分别取值81，82，83，…，125，分别列出不等式，再将各式相加得，，再由参考数据和条件进行求解．
解；（Ⅰ）由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）r-（r+1）=（r+1）[（1+x）r-1]，
令f'（x）=0，解得x=0．
当-1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（-1，0）内是减函数；
当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．
故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f（0）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ），当x∈（-1，+∞）时，有f（x）≥f（0）=0，
即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，
故当x＞-1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①
在①中，令（这时x＞-1且x≠0），得．
上式两边同乘nr+1，得（n+1）r+1＞nr+1+nr（r+1），
即，②
当n＞1时，在①中令（这时x＞-1且x≠0），
类似可得，③
且当n=1时，③也成立．
综合②，③得，④
（Ⅲ）在④中，令，n分别取值81，82，83，…，125，
得，，，…，
将以上各式相加，并整理得．
代入数据计算，可得
由[S]的定义，得[S]=211．