Question

设{a_n}是公比为q的等比数列．
（Ⅰ）试推导{a_n}的前n项和公式；
（Ⅱ） 设q≠1，证明数列{a_n+1}不是等比数列．

Answer

（I）分q=1与q≠1两种情况讨论，当q≠1，0时，利用错位相减法即可得出；
（II）分①当存在n∈N*，使得an+1=0成立时，显然不成立；②当∀n∈N*（n≥2），使得an+1≠0成立时，使用反证法即可证明．
【解析】
（I）当q=1时，Sn=na1；
当q≠0，1时，由Sn=a1+a2+…+an，
得qSn=a1q+a2q+…+an-1q+anq．
两式错位相减得（1-q）Sn=a1+（a2-a1q）+…+（an-an-1q）-anq，（*）
由等比数列的定义可得，
∴a2-a1q=a3-a2q=…=0．
∴（*）化为（1-q）Sn=a1-anq，
∴．
∴；
（Ⅱ）用反证法：设{an}是公比为q≠1的等比数列，数列{an+1}是等比数列．
①当存在n∈N*，使得an+1=0成立时，数列{an+1}不是等比数列．
②当∀n∈N*（n≥2），使得an+1≠0成立时，则==，
化为（qn-1-1）（q-1）=0，
∵q≠1，∴q-1≠0，qn-1-1≠0，故矛盾．
综上两种情况：假设不成立，故原结论成立．