Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，．
（Ⅰ） 证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ） 求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角θ的大小．

Answer

（Ⅰ）要证明A1C⊥平面BB1D1D，只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可，由已知可证出A1C⊥BD，取B1D1的中点为E1，通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1C⊥E1O．由线面垂直的判定定理问题得证．
（Ⅱ）以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立空间直角坐标系，然后求出平面OCB1与平面BB1D1D的法向量，利用法向量所成的角求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．
（Ⅰ）证明：∵A1O⊥面ABCD，且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD；
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A1O∩AC=O，
∴BD⊥面A1AC，且A1C⊂面A1AC，故A1C⊥BD．
在正方形ABCD中，∵，∴AO=1，
在Rt△A1OA中，∵，∴A1O=1．
设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，∴A1C⊥E1O．
又BD⊂面BB1D1D，且E10⊂面BB1D1D，且BD∩EO=O，
∴A1C⊥面BB1D1D；
（Ⅱ）【解析】
以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），
．
由（Ⅰ）知，平面BB1D1D的一个法向量，
，．
设平面OCB1的法向量为，
由，得，取z=-1，得x=1．
∴．
则=．
所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为．