Question

已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（Ⅰ） 求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 已知点B（-1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．

Answer

（I）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|=|MN|，又|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，利用两点间的距离公式即可得出．
（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．利用角平分线的性质可得kPB=-kQB，可化为化为8+y1y2=0．又直线PQ的方程为，代入化简整理为y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1即可得到定点．
【解析】
（Ⅰ）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=|MN|，
∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，
∴（x-4）2+y2=42+x2，化为y2=8x．
（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．
∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴kPB=-kQB，
∴，∴，化为8+y1y2=0．
直线PQ的方程为，
∴，化为，
化为，
y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1，
∴直线PQ过 定点（1，0）