Question

已知函数f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ） 若直线y=kx+1与f （x）的反函数的图象相切，求实数k的值；
（Ⅱ） 设x＞0，讨论曲线y=f （x） 与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数．
（Ⅲ） 设a＜b，比较与的大小，并说明理由．

Answer

（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；
（II）由f（x）=mx2，令h（x）=，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出；
（III）利用作差法得 ===，令g（x）=x+2+（x-2）ex（x＞0），利用导数研究其单调性即可证明．
【解析】
（I）函数f（x）=ex的反函数为g（x）=lnx，∴．
设直线y=kx+1与g（x）的图象相切于点P（x，y），则，解得，k=e-2，
∴k=e-2．
（II）当x＞0，m＞0时，令f（x）=mx2，化为m=，
令h（x）=，则，
则x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
∴当x=2时，h（x）取得极小值即最小值，．
∴当时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为0；
当时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为1；
当时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m＞0）公共点个数为2．
（Ⅲ） =
=
=，
令g（x）=x+2+（x-2）ex（x＞0），则g′（x）=1+（x-1）ex．
g′′（x）=xex＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g（x）＞g（0）=0．
∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）•ex＞0，且a＜b，
∴，
即当a＜b时，．