Question

设数列{a_n}满足a₁=2，a₂+a₄=8，且对任意n∈N^*，函数 f（x）=（a_n-a_n+1+a_n+2）x+a_n+1cosx-a_n+2sinx满足f′（）=0
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=2（a_n+）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（I）利用导数的运算法则先求出f′（x），再利用，即可得到数列{an}是等差数列，再利用已知及等差数列的通项公式即可得出an；
（II）利用（I）得出bn，利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出Sn．
【解析】
（I）∵f′（x）=an-an+1+an+2-an+1sinx-an+2cosx，．
∴2an+1=an+an+2对任意n∈N*，都成立．
∴数列{an}是等差数列，设公差为d，∵a1=2，a2+a4=8，∴2+d+2+3d=8，解得d=1．
∴an=a1+（n-1）d=2+n-1=n+1．
（II）由（I）可得，=2（n+1）+，
∴Sn=2[2+3+…+（n+1）]+
=
=．