Question

已知椭圆C：+（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（，）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（x，y）（xy≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A（0，2），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．

Answer

（I）根据椭圆的焦距为4，得到c==2，再由点P（）在椭圆C上得到，两式联解即可得到a2=8且b2=4，从而得到椭圆C的方程；
（II）由题意得E（x，0），设D的坐标为（xD，0），可得向量、的坐标，根据AD⊥AE得，从而算出xD=-，因为点G是点D关于y轴的对称点，得到G（，0）．直线QG的斜率为kQG=，结合点Q是椭圆C上的点化简得kQG=-，从而得到直线QG的方程为：y=-（x-），将此方程与椭圆C的方程联解可得△=0，从而得到方程组有唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点，由此即得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．
【解析】
（I）∵椭圆C：+（a＞b＞0）的焦距为4，
∴c=2，可得=2…①
又∵点P（）在椭圆C上
∴…②
联解①②，可得a2=8且b2=4，椭圆C的方程为；
（II）由题意，得E点坐标为（x，0），
设D（xD，0），可得=（x，-），=（xD，-），
∵AD⊥AE，可得
∴xxD+（-）•（-）=0，即xxD+8=0，得xD=-
∵点G是点D关于y轴的对称点，∴点G的坐标为（，0）
因此，直线QG的斜率为kQG==
又∵点Q（x，y）在椭圆C上，可得
∴kQG==-
由此可得直线QG的方程为：y=-（x-），
代入椭圆C方程，化简得（）x2-16xx+64-16=0
将和8-2=x代入上式，得8x2-16xx+8=0，
化简得x2-2xx+=0，所以△=，
从而可得x=x，y=y是方程组的唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点．
综上所述，可得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．