Question

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

Answer

（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．
（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2，），X2～B（2，），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案．
【解析】
（1）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，
记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，
因为P（X=5）=，∴P（A）=1-P（X=5）=；
即他们的累计得分x≤3的概率为．
（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，
甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）
都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）
由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，），
∴E（X1）=2×=，E（X2）=2×=，
从而E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=，
由于E（2X1）＞E（3X2），
∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．