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高中数学试题
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已知函数f(x)=x-alnx(a∈R) (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在...
已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
(1)把a=2代入原函数解析式中,求出函数在x=1时的导数值,直接利用直线方程的点斜式写直线方程; (2)求出函数的导函数,由导函数可知,当a≤0时,f′(x)>0,函数在定义域(0,+∝)上单调递增,函数无极值,当a>0时,求出导函数的零点,由导函数的零点对定义域分段,利用原函数的单调性得到函数的极值. 【解析】 函数f(x)的定义域为(0,+∞),. (1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,, 因而f(1)=1,f′(1)=-1, 所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1), 即x+y-2=0 (2)由,x>0知: ①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值; ②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a. 又当x∈(0,a)时,f′(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值. 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值; 当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.
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考点分析:
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