Question

如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A₁，A₂，…，A₉和B₁，B₂，…，B₉，连接OB_i，过A_i作x轴的垂线与OB_i，交于点．
（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；
（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．

Answer

（I）由题意，求出过且与x轴垂直的直线方程为x=i，Bi的坐标为（10，i），即可得到直线OBi的方程为．联立方程，即可得到Pi满足的方程；
（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式S△OCM=S△OCN，可得|x1|=4|x2|．即x1=-4x2．联立即可得到k，进而得到直线方程．
（I）证明：由题意，过且与x轴垂直的直线方程为x=i，Bi的坐标为（10，i），
∴直线OBi的方程为．
设Pi（x，y），由，解得，即x2=10y．
∴点都在同一条抛物线上，抛物线E的方程为x2=10y．
（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，
联立消去y得到x2-10kx-100=0，
此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，
设为M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=10k，x1x2=-100，
∵S△OCM=4S△OCN，∴|x1|=4|x2|．∴x1=-4x2．
联立，解得．
∴直线l的方程为．即为3x+2y-20=0或3x-2y+20=0．