Question

如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′-BCDE，其中A′O=．
（1）证明：A′O⊥平面BCDE；
（2）求二面角A′-CD-B的平面角的余弦值．

Answer

（1）连接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，AD=AE=，CO=BO=3．分别在△COD与△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A'F．利用（1）可知：A'O⊥平面BCDE，根据三垂线定理得A'F⊥CD，所以∠A'FO为二面角A'-CD-B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；
方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA'分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．
（1）证明：连接OD，OE．
因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，CO=BO=3．
在△COD中，，同理得．
因为，．
所以A'O2+OD2=A'D2，A'O2+OE2=A'E2．
所以∠A'OD=∠A'OE=90°
所以A'O⊥OD，A'O⊥OE，OD∩OE=O．
所以A'O⊥平面BCDE．
（2）方法一：
过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A'F
因为A'O⊥平面BCDE．
根据三垂线定理，有A'F⊥CD．
所以∠A'FO为二面角A'-CD-B的平面角．
在Rt△COF中，．
在Rt△A'OF中，．
所以．
所以二面角A'-CD-B的平面角的余弦值为．
方法二：
取DE中点H，则OH⊥OB．
以O为坐标原点，OH、OB、OA'分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则是平面BCDE的一个法向量．
设平面A'CD的法向量为n=（x，y，z），．
所以，令x=1，则y=-1，．
所以是平面A'CD的一个法向量
设二面角A'-CD-B的平面角为θ，且
所以
所以二面角A'-CD-B的平面角的余弦值为