Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有．

Answer

（1）利用已知a1=1，，n∈N*．令n=1即可求出；
（2）利用an=Sn-Sn-1（n≥2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化为，．再利用等差数列的通项公式即可得出；
（3）利用（2），通过放缩法（n≥2）即可证明．
【解析】
（1）当n=1时，，解得a2=4
（2）①
当n≥2时，②
①-②得
整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即，
当n=1时，
所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列
所以，即
所以数列{an}的通项公式为，n∈N*
（3）因为（n≥2）
所以=